JEE MAIN

<div><div><li> <p>A small point of mass m is placed at a distance 2R from the centre O of a big uniform solid sphere of mass M and radius R. The gravitational force on m due to M is F<sub>1</sub>. A spherical part of radius R/3 is removed from the big sphere as shown in the figure and the gravitational force on m due to remaining part of M is found to be F<sub>2</sub>. The value of ratio F<sub>1</sub>:F<sub>2</sub> is</p> </li></div><p> <img src="http://test-master-question-data.s3.ap-south-1.amazonaws.com/questionImg/c6798db1-6601-4f54-bb7c-76b1d4654e37.jpg" style="width:1.37039in;height:0.87299in" alt=""> </p></div>

<div><p>Given Mass of bigger solid sphere: M</p><p>And radius R</p><p>Using concept of cavity problems (and –ve density, at the location of cavity)</p><p>Mass of smaller sphere:</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mrow> 
      <mfrac> 
       <mn>
         4 
       </mn> 
       <mn>
         3 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mi>
        π 
      </mi> 
      <msup> 
       <mrow> 
        <mo stretchy="true" form="prefix">
          ( 
        </mo> 
        <mi>
          R 
        </mi> 
        <mo stretchy="true" form="postfix">
          ) 
        </mo> 
       </mrow> 
       <mn>
         3 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       4 
     </mn> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mi>
      π 
    </mi> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <mi>
         R 
       </mi> 
       <mn>
         3 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       M 
     </mi> 
     <mn>
       27 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     m_{2} = - \frac{M}{\frac{4}{3}\pi(R)^{3}} \times \frac{4}{3}\pi\left( \frac{R}{3} \right)^{3} = - \frac{M}{27} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mi>
      d 
    </mi> 
    <mi>
      i 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
    <mi>
      n 
    </mi> 
    <mi>
      c 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      o 
    </mi> 
    <mi>
      f 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      c 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mi>
      n 
    </mi> 
    <mi>
      t 
    </mi> 
    <mi>
      e 
    </mi> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      o 
    </mi> 
    <mi>
      f 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      f 
    </mi> 
    <mi>
      r 
    </mi> 
    <mi>
      o 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <msub> 
     <mi>
       m 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     distance\ of\ center\ of\ m\ from\ m_{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mi>
      R 
    </mi> 
    <mo>
      + 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mi>
       R 
     </mi> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
      <mi>
        R 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Force on m due to M:</p><p style="text-align:left;">after cavity is created, force on m: 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <msup> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
       <mi>
         R 
       </mi> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
      <msup> 
       <mi>
         R 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F_{1} = \frac{GMm}{(2R)^{2}} = \frac{GMm}{4R^{2}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       F 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
      <msup> 
       <mi>
         R 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      + 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mfrac> 
        <mrow> 
         <mo>
           − 
         </mo> 
         <mi>
           M 
         </mi> 
        </mrow> 
        <mn>
          27 
        </mn> 
       </mfrac> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <msup> 
      <mrow> 
       <mo stretchy="true" form="prefix">
         ( 
       </mo> 
       <mfrac> 
        <mrow> 
         <mn>
           4 
         </mn> 
         <mi>
           R 
         </mi> 
        </mrow> 
        <mn>
          3 
        </mn> 
       </mfrac> 
       <mo stretchy="true" form="postfix">
         ) 
       </mo> 
      </mrow> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     F_{2} = \frac{GMm}{4R^{2}} + \frac{G\left( \frac{- M}{27} \right)m}{\left( \frac{4R}{3} \right)^{2}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        4 
      </mn> 
      <msup> 
       <mi>
         R 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mrow> 
      <mn>
        48 
      </mn> 
      <msup> 
       <mi>
         R 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msup> 
     </mrow> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mn>
        12 
      </mn> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </mrow> 
     <mn>
       48 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        G 
      </mi> 
      <mi>
        M 
      </mi> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
     </mrow> 
     <msup> 
      <mi>
        R 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msup> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \frac{GMm}{4R^{2}} - \frac{GMm}{48R^{2}} = \frac{12 - 1}{48} \times \frac{GMm}{R^{2}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       11 
     </mn> 
     <mn>
       12 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mrow> 
     <mo stretchy="true" form="prefix">
       ( 
     </mo> 
     <mfrac> 
      <mrow> 
       <mi>
         G 
       </mi> 
       <mi>
         M 
       </mi> 
       <mi>
         m 
       </mi> 
      </mrow> 
      <mrow> 
       <mn>
         4 
       </mn> 
       <msup> 
        <mi>
          R 
        </mi> 
        <mn>
          2 
        </mn> 
       </msup> 
      </mrow> 
     </mfrac> 
     <mo stretchy="true" form="postfix">
       ) 
     </mo> 
    </mrow> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     = \frac{11}{12}\left( \frac{GMm}{4R^{2}} \right) 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>A satellite is launched into a circular orbit of radius R around the earth. A second satellite is launched into an orbit of radius 1.03R. the time period of revolutions of the second satellite is larger than the first one approximately by:</p> </li></div></div>

<div><p>Using Kepler’s third law</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      ∝ 
    </mo> 
    <msup> 
     <mi>
       r 
     </mi> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     T^{2} \propto r^{3} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <msub> 
        <mi>
          R 
        </mi> 
        <mn>
          2 
        </mn> 
       </msub> 
       <msub> 
        <mi>
          R 
        </mi> 
        <mn>
          1 
        </mn> 
       </msub> 
      </mfrac> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mfrac> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </mfrac> 
    </msup> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mn>
        1.03 
      </mn> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mfrac> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </mfrac> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{T_{2}}{T_{1}} = {(\frac{R_{2}}{R_{1}})}^{\frac{3}{2}} = {(1.03)}^{\frac{3}{2}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Using binomial approximation:</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msup> 
     <mrow> 
      <mo stretchy="true" form="prefix">
        ( 
      </mo> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
      <mo>
        + 
      </mo> 
      <mn>
        0.03 
      </mn> 
      <mo stretchy="true" form="postfix">
        ) 
      </mo> 
     </mrow> 
     <mfrac> 
      <mn>
        3 
      </mn> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </mfrac> 
    </msup> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      1 
    </mn> 
    <mo>
      + 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mn>
      0.03 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{T_{2}}{T_{1}} = {(1 + 0.03)}^{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{3}{2} \times 0.03 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        2 
      </mn> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      − 
    </mo> 
    <mn>
      1 
    </mn> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       0.09 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{T_{2}}{T_{1}} - 1 = \frac{0.09}{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <msub> 
       <mi>
         T 
       </mi> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
      </msub> 
      <mo>
        − 
      </mo> 
      <msub> 
       <mi>
         T 
       </mi> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </msub> 
     </mrow> 
     <msub> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
      <mn>
        1 
      </mn> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      0.045 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{T_{2} - T_{1}}{T_{1}} = \frac{\Delta T}{T} = 0.045 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <mrow> 
      <mi>
        Δ 
      </mi> 
      <mi>
        T 
      </mi> 
     </mrow> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
    </mfrac> 
    <mo>
      × 
    </mo> 
    <mn>
      100 
    </mn> 
    <mi>
      % 
    </mi> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      4.5 
    </mn> 
    <mi>
      % 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{\Delta T}{T} \times 100\% = 4.5\% 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>Earth has mass 8 times and radius 2 times that of a planet. If the escape velocity from the earth is 11.2 km/s, the escape velocity in km/s from the planet will be:</p> </li></div></div>

<div><p>Given 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       v 
     </mi> 
     <mi>
       e 
     </mi> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      11.2 
    </mn> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     v_{e} = 11.2\ km/s 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
      <mi>
        e 
      </mi> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        m 
      </mi> 
      <mi>
        p 
      </mi> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       8 
     </mn> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      a 
    </mi> 
    <mi>
      n 
    </mi> 
    <mi>
      d 
    </mi> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        R 
      </mi> 
      <mi>
        e 
      </mi> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        R 
      </mi> 
      <mi>
        p 
      </mi> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       8 
     </mn> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{m_{e}}{m_{p}} = \frac{8}{1}\ and\ \ \frac{R_{e}}{R_{p}} = \frac{8}{1} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p>Using escape velocity:</p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       v 
     </mi> 
     <mi>
       e 
     </mi> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msqrt> 
     <mfrac> 
      <mrow> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
       <mi>
         G 
       </mi> 
       <mi>
         M 
       </mi> 
      </mrow> 
      <mi>
        R 
      </mi> 
     </mfrac> 
    </msqrt> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <mfrac> 
     <msub> 
      <mi>
        v 
      </mi> 
      <mi>
        p 
      </mi> 
     </msub> 
     <msub> 
      <mi>
        v 
      </mi> 
      <mi>
        e 
      </mi> 
     </msub> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msqrt> 
     <mrow> 
      <mfrac> 
       <msub> 
        <mi>
          m 
        </mi> 
        <mi>
          p 
        </mi> 
       </msub> 
       <msub> 
        <mi>
          m 
        </mi> 
        <mi>
          e 
        </mi> 
       </msub> 
      </mfrac> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <msub> 
        <mi>
          R 
        </mi> 
        <mi>
          e 
        </mi> 
       </msub> 
       <msub> 
        <mi>
          R 
        </mi> 
        <mi>
          p 
        </mi> 
       </msub> 
      </mfrac> 
     </mrow> 
    </msqrt> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <msqrt> 
     <mrow> 
      <mfrac> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
       <mn>
         8 
       </mn> 
      </mfrac> 
      <mo>
        × 
      </mo> 
      <mfrac> 
       <mn>
         2 
       </mn> 
       <mn>
         1 
       </mn> 
      </mfrac> 
     </mrow> 
    </msqrt> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       1 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     \frac{v_{p}}{v_{e}} = \sqrt{\frac{m_{p}}{m_{e}} \times \frac{R_{e}}{R_{p}}} = \sqrt{\frac{1}{8} \times \frac{2}{1}} = \frac{1}{2} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p><p style="text-align:left;"> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       v 
     </mi> 
     <mi>
       p 
     </mi> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mfrac> 
     <mn>
       11.2 
     </mn> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </mfrac> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      5.6 
    </mn> 
    <mspace width="0.222em"></mspace> 
    <mi>
      k 
    </mi> 
    <mi>
      m 
    </mi> 
    <mi>
      / 
    </mi> 
    <mi>
      s 
    </mi> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     v_{p} = \frac{11.2}{2} = 5.6\ km/s 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> </p></div>

<div><div><li> <p>If a satellite orbiting the Earth is 9 times closer to the Earth than the Moon, what is the time period of rotation of the satellite? Given rotational time period of Moon = 27 days and gravitational attraction between the satellite and the moon is neglected.</p> </li></div></div>

<div><p style="text-align:left;">Using Kepler’s 3<sup>rd</sup> Law:<br> day.<br> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msup> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
     <mn>
       2 
     </mn> 
    </msup> 
    <mo>
      ∝ 
    </mo> 
    <msup> 
     <mi>
       r 
     </mi> 
     <mn>
       3 
     </mn> 
    </msup> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     T^{2} \propto r^{3} 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math> 
 <math display="inline" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> 
   <mrow> 
    <msub> 
     <mi>
       T 
     </mi> 
     <mtext mathvariant="normal">
       satellite&nbsp; 
     </mtext> 
    </msub> 
    <mo>
      = 
    </mo> 
    <mn>
      1 
    </mn> 
   </mrow> 
   <annotation encoding="application/x-tex">
     T_{\text{satellite~}} = 1 
   </annotation> 
  </semantics> 
 </math></p><p> <img src="http://test-master-question-data.s3.ap-south-1.amazonaws.com/questionImg/4308b437-2772-4b43-b617-2d225fd8a36f.jpg" style="width:1.28116in;height:0.56638in" alt=""> </p></div>